Matematika XI (IV) - Irisan Kerucut / Persamaan Lingkaran

Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran di Pusat (0,0)

Persamaan lingkaran adalah persamaan untuk membentuk suatu lingkaran dengan jari jari r.

Menggunakan rumus jarak antar koordinat, kita dapat mencari persamaan lingkaran dari persamaan diatas. Berikut adalah penurunannya.

Ingat rumus jarak :

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Berdasarkan gambar diatas, kita akan cari jarak garis r dari (0,0) ke (x,y), dimana garis r adalah jari jari dari lingkaran. Maka, dapat kita definiskan sebagai :

$\\ r= \sqrt{(0-x)^2+(0-y)^2}\\\\ r= \sqrt{x^2+y^2}\\\\ r^2=x^2+y^2$

Maka, Persamaan lingkaran untuk lingkaran yang pusat lingkarannya di (0,0) adalah

${\color{red} x^2+y^2 = r^2}$

Keterangan :

x = Koordinat titik X
y = Koordinat titik Y
r = Jari jari

B. Persamaan Lingkaran di Pusat (a,b)

Intermezzo Penurunan I

Menggunakan cara yang sama, dapat diturunkan persamaan lingkaran di pusat (a,b) sebagai berikut :

Ingat rumus jarak :

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Berdasarkan gambar diatas, kita akan cari jarak garis r dari (a,b) ke (x,y), dimana garis r adalah jari jari dari lingkaran. Maka, dapat kita definiskan sebagai :

$\\ r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\\ \\ r^2 = (x-a)^2+(y-b)^2$

Kesimpulan I

Mak, Persamaan lingkaran untuk lingkaran yang pusat lingkarannya di (a,b) adalah

${\color{Red} (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$

Keterangan :

x = Koordinat titik X
y = Koordinat titik Y
r = Jari jari
a = Pusat lingkaran x
b = Pusat lingkaran y

Intermezzo Penurunan II

Dari persamaan lingkaran diatas, dapat dibuat dalam bentuk lain dengan menjabarkannya menjadi :

$\\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\\\ (x-a)(x-a)+ (y-b)(y-b)=r^2$

Perkalian dapat kita kalikan pelangi menjadi :

$\\(x^2-ax-ax+a^2)+(y^2-by-by+b^2)=r^2\\\\ (x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+b^2)=r^2$

Setelah itu, a^2, b^2, dan r^2 karena berbentuk dalam bentuk konstanta, kita dapat mengubah mereka menjadi 1 variabel yaitu C (konstanta). Menjadi :

$x^2+y^2 -2ax -2by +C = 0$

(a,b) adalah pusat lingkaran, kita dapat definiskan dalam bentuk yang lebih mudah untuk diingat. Kita subsitusikan :

A = -2a
B = -2b

Kesimpulan II

Maka, dapat didefiniskan rumus persamaan lingkaran di (a,b) yang kedua adalah :

$\\ {\color{Red} x^2+y^2=Ax+By+C=0 }\\\\ {\color{Red} P=(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})=(a,b)} \\\\ {\color{Red} r=\sqrt{\frac{A^2}{4}+\frac{B^2}{4}-C}}$

Keterangan :

A = -2a
B = -2b
P = Pusat Lingkaran
(a,b) = Koordinat titik pusat lingkaran (x,y)
r = Jari Jari Lingkaran
C = Konstanta

C. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Pers. Garis singgung di lingkaran berpusat (0,0) di titik Q (x1,y1) adalah :