Matematika XI (VIII) - Turunan atau Differensial.

Turunan

Definisi

Turunan merupakan salah satu hal yang terpenting didalam kalkulus. Turunan merupakan pengukuran fungsi yang berubah seiring perubahan input.

Turunan akan sangat digunakan dalam limit dan integral (anti turunan), dimana integral akan dipelajari nanti pada kelas 12 bab 1. Turunan berguna juga dalam mencari nilai limit yang (0/0). Biasa dinotasikan y' atau dy/dx

Definisi Turunan

Turunan atau bahasa lainnya adalah diferensial, biasa digunakan untuk mencari gradien dari sebuah kurva yang tidak linier. Jika ada kurva yang bentuknya tidak linier, maka gradiennya akan berubah tiap saat. Perubahan itulah yang akan kita amati menggunakan diferensial.

Pertama, kita ingat dulu gradien pada garis linier dirumuskan sebagai berikut :

$\\ m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Dengan m adalah gradien.

Nah sekarang, jika ada fungsi f(x) yang grafiknya lengkung atau tidak linier, rumus diatas tidak akan berlaku karena setiap titik gradiennya akan berubah. Untuk itu saya beri contoh suatu grafik dibawah.

Lihat gambar di atas, dengan mengingat konsep fungsi, jika x saya masukan ke fungsi , maka akan didapat y = f(x). sementara apabila titik x + h dimasukan ke fungsi, akan didapat y = f(x+h).

Untuk mencari gradien suatu titik di x, maka saya dekatkan nilai h sampai mendekati nol agar gradiennya lebih akurat.

Karena nilai h sangat dekat, maka rumus gradiennya akan menjadi sebagai berikut :

$\\ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} \\\\ m = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Karena delta y adalah f(x+h) - f(x), dan delta x adalah h, maka didapat persamaan :

Dengan persamaan di atas adalah definisi dari turunan.

Keterangan :
m = Gradien
dy/dx = turunan pertama dari x

Rumus Turunan

Mengguunakan definisi turunan, kita bisa mencari rumus cepat dari mencari turunan. Berikut adalah beberapa rumus turunan yang harus dihafal.

$\\ y= ax^n \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = n ax^{n-1} \\\\y = u \cdot v\Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = u' \cdot v + v' \cdot u \\\\ y = \frac{u}{v}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx} =\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \\\\ y=(u)^n \Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=n \cdot u^{n-1} \cdot u'$

Dapatkah kamu membuktikan rumus rumus di atas?

Rumus Turunan Trigonometri

Masih menggunakan definisi turunan, berikut adalah rumus turunan untuk fungsi Trigonometri.

$\\ y = \sin x \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \cos x \\ \\ y = \cos x \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = -\sin x \\\\ y = \tan x \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \\\\ y= \cot x \Leftrightarrow \frac{dy}{dx} = -\csc^2 x \\ \\ y= \sec x\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\sec x \tan x \\\\y= \csc x\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=-\csc x \cot x$

Persamaan Garis Singgung

Seperti yang sudah disebutkan di atas, Turunan bisa kita gunakan untuk mencari gradien dari garis singgung yang merupakan turunan pertama dari garis tersebut.

Sehingga, persamaan garis singgung untuk fungsi f(x) dapat ditentukan sebagai

$y-y_1= \frac{dy}{dx}(x-x_1)$

Aturan Rantai

Aturan Rantai digunakan untuk mencari turunan dari suatu fungsi komposisi. Aturan rantai dalam notasi Leibniz dikatakan sebagai berikut ;

$\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Dengan menggunakan turunan, kita juga dapat mengetahui kapan fungsi dikatakan naik atau fungsi dikatakan turun.

Fungsi dikatakan naik jika f'(x) > 0
Fungsi dikatakan turun jika f'(x) < 0
Fungsi dikatakan stasioner atau belok jika f'(x) = 0

Matematika XI (VIII) - Turunan atau Differensial.

No comments:

Post a Comment