Matematika XI (VI) - Limit - World of Equations

Limit

Definisi dan Notasi

Jika ada fungsi f(x) = x² - 1 / x - 1, berapa nilai f(1)? Tentunya hasilnya tidak akan terdefinisi karena pembilang dan penyebutnya adalah nol. Maka dari itu, ada yang namanya limit, limit adalah nilai pendekatan dari fungsi yang dicari.

Limit dinotasikan sebagai :

$\lim_{x\rightarrow n}f(x)$

Limit Aljabar

Seperti definisi diatas, fungsi limit adalah mencari nilai pendekatan. Jadi intinya, limit tidak boleh nol. Limit dapat diselesaikan dengan cara pemfaktoran, merasionalkan akar, atau dengan turunan (differensial).

Sebenarnya, masih ada beberapa cara lain untuk menyelesaikan Limit, tetapi untuk materi SMA, kita hanya akan gunakan 3 cara itu.

Contoh Metode Pemfaktoran

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}$

Jawab :

Untuk limit di atas, jika kita masukan subsitusikan x dengan 1, maka hasilnya akan nol. Maka dari itu kita bisa lakukan pemfaktoran agar nilainya tidak nol. Maka :

$\\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1} \\\\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}$

Coret yang sama.

$\\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x+1){\color{Red} (x-1)}}{{\color{Red} (x-1})} \\\\\lim_{x\rightarrow 1}{(x+1)}$

Subsitusikan x dengan 1 karena hasilnya sudah tidak nol. Menjadi :

$\lim_{x\rightarrow 1} (x+1)=1+1=2$

Jadi, nilai limit mendekati 1 untuk f(x) = x² - 1 / x - 1 adalah 2.

Contoh Metode Merasionalkan Akar.

$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5}$

Jawab :

Untuk limit bentuk akar, kita dapat merasionalkan akarnya terlebih dahulu. Menjadi :

$\\ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5} \\\\ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{\sqrt{x^2+16}-5}\cdot \frac{\sqrt{x^2+16}+5}{\sqrt{x^2+16}+5}\\\\ \lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+16}+5)}{(x^2+16-25)}\\\\\lim_{x\rightarrow 3} \frac{(x^2-9)(\sqrt{x^2+16}+5)}{(x^2-9)}$

Coret yang sama.

$\\ \lim_{x\rightarrow 3} \frac{{\color{Red} (x^2-9)}(\sqrt{x^2+16}+5)}{{\color{Red} (x^2-9)}} \\\\ \lim_{x\rightarrow 3}(\sqrt{x^2+16}+5) \\\\ \Leftrightarrow \sqrt{3^2+16}+5 \\ \Leftrightarrow \sqrt{25}+5 \\\Leftrightarrow 5+5=10$

Jadi, nilai limit yang mendekati adlaah 10.

Contoh Metode dengan Menggunankan Turunan. (Berlaku untuk bentuk 0/0)

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^4+6x^2+2x}{x^4+2x^2+x}$

Jawab :

Soal di atas adalah bentuk limit nol (sama seperti limit biasa). Karena bentuknya akan menghasilan (0/0), kita akan gunakan turunan.
Turunan akan kita pelajari di bab 8, sementara saya akan gunakan rumus umum turunan sebagai berikut :

$f(x)=ax^n\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=n\cdot ax^{n-1}$

Maka, untuk limit ini akan menghasilkan :

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x^4+6x^2+2x}{x^4+2x^2+x} \\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{5\cdot 4 x^{4-1}+6\cdot 2 x^{2-1}+2\cdot 1x^{1-1}}{4\cdot x^{4-1}+2\cdot 2x^{2-1}+1\cdot x^{1-1}}\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{20x^3+12x+2}{4x^3+4x+1}$

Input nilai x = 0, maka akan menghasilkan :

$\frac{0+0+2}{0+0+1}=\frac{2}{1}=2$

Limit Fungsi untuk X Mendekati Tak Hingga.

Limit fungsi tak hingga bisa dicari dengan cara merasionalkan, atau dengan cara cepat.

Bentuk 1

$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{ax^m+bx^{m-1}+cx^{m-2}+...}{px^n+qx^{n-1}+rx^{n-2}+...}$

Maka nilainya adalah :

0, jika m < n
a/p, jika m = n
∞, jika m > n

Bentuk 2

$\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{px^2+qx+r}$

Maka nilainya adalah :

-∞, jika a < p
(b-q) / 2√a , jika a = p
∞, jika a > p

Bentuk 3

$\lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{ax+b}-\sqrt{cx+d}$
Maka nilainya adalah :

-∞, jika a < c
0 , jika a = c
∞, jika a > c

Rumus di atas tentu bisa dibuktikan kebenarannya. Dapatkah kamu membuktikannya?

Limit Fungsi Trigonometri

Dalam limit trigonometri berlaku sifat :

$\\ \lim_{x\rightarrow 0} \cos x = 1 \: \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \\ \\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos x} = 1 \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\tan x} = 1 \\ \\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x} = 1 \: \: \: \: \: \: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{ x} = 1$

Rumus - rumus di atas dapat dibuktikan menggunakan Teorema Apit yang akan dipelajari di perkuliahan nanti.

Teorema Limit Trigonometri

Berikut adalah beberapa teorema dalam limit trigonometri :

$\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax}{\tan bx}=\frac{a}{b} \\ \\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}$

Menggunakan sifat limit trigonometri sebelumnya, kamu dapat membuktikan seluruh rumus-rumus ini.

Matematika XI (VI) - Limit

Definisi dan Notasi

Limit Aljabar

Limit Fungsi untuk X Mendekati Tak Hingga.

Limit Fungsi Trigonometri

Teorema Limit Trigonometri

No comments:

Post a Comment