Matematika XII (III) - Matriks - World of Equations

Matriks

A. Operasi Matriks I - Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan matriks dapat didefiniskan sebagai berikut :

$\begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} e &f \\ g& h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \pm e &b \pm f \\ c \pm g& d \pm h \end{bmatrix}$

B. Operasi Matriks II - Perkalian Matriks

Perkalian matriks dapat didefinisikan sebagai :

$\begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e &f \\ g& h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (a e+bg) &(af + bh) \\ (ce+ga)& (cf+ah) \end{bmatrix}$

C. Determinan Matriks 2 x 2

Determinan matriks untuk 2 x 2 dapat didefinisikan sebagai :

D. Determinan Matriks 3 x 3

Determinan matriks untuk 3 x 3 dapat didefinisikan sebagai :

$\textup{Det A }= aei + bfg + cdh -gec-hfa-cdb$

E. Invers Matriks 2x2

Tidak ada pembagian di matriks, untuk itu diganti oleh invers matriks sebagai berikut :

$\begin{bmatrix} a &d \\ c& d \end{bmatrix} \Leftrightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b\\ -c &a \end{bmatrix}$

F. Invers Matriks 3x3

Invers matriks untuk 3 x 3 dapat didefinisikan sebagai :

$\\ \begin{bmatrix} a_1_1 &a_1_2 &a_1_3 \\ a_2_1& a_2_2 &a_2_3 \\ a_3_1 & a_3_2 &a_3_3 \end{bmatrix} \Leftrightarrow A^{-1}=\frac{1}{\textup{det A}}\cdot \textup{adj A}\\ \\\\ \textup{adj A}= \begin{bmatrix} \alpha_1_1 & \alpha_1_2 &\alpha_1_3 \\ \alpha_2_1 & \alpha_2_2 &\alpha_2_3 \\ \ \alpha_3_1&\alpha_3_2 &\alpha_3_3 \end{bmatrix}$

Untuk mencari nilai alphanya, dirumuskan sebagai :

$\alpha_m_n =(-1)^{m+n}\cdot X$

Dengan X adalah matriks 2 x 2 dari yang tidak dilewati oleh alpha mn.

Contoh :

Mencari rumus alpha 11 dan alpha 22 pada matriks di atas.

Jawab :

X untuk alpha 11

Cara mencarinya adalah coret setiap jalan yang berhubungan dengan alpha 11 secara vertikal dan horizontal. Bagian yang tidak tercoret adalah X.

Masukan ke rumus.

$\alpha_1_1 = (-1)^{1+1} \cdot \begin{bmatrix} \alpha_2_2& \alpha_2_3 \\ \alpha_3_2 & \alpha_3_3 \end{bmatrix}$

X untuk alpha 22

Dengan cara yang sama, coret setiap jalan yang berhubungan dengan alpha 22 secara vertikal dan horizontal.

Masukan ke rumus.

$\alpha_2_2 = (-1)^{2+2}\begin{bmatrix} \alpha_1_1 & \alpha_1_3\\ \alpha_3_1& \alpha_3_3 \end{bmatrix}$

G. Sifat Invers

Invers memiliki sifat sifat sebagai berikut :

$\\ A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{bmatrix} \\\\AQ = B \Leftrightarrow Q = A^{-1} \cdot B\\\\QA = B \Leftrightarrow Q= B\cdot A^{-1}$

Matematika XII (III) - Matriks

No comments:

Post a Comment