World of Equations

Ujian Nasional Matematika IPA 2018 [PART 2]

Pada post kali ini akan dibahas tentang UN matematika tahun 2018, akan disajikan soal dan pembahasannya secara lengkap dan semoga dapat dimengerti :)

Soal 21 (Integral)

Pembahasan :

Kita dapat gunakan rumus integral tentu sebagai berikut :

$\int_a^bf'(x)\: dx = f(b)-f(a)$

Dengan f'(x) adalah hasil turunan dari fungsi f(x).

Maka untuk integral di atas konsepnya ya hanya mengintegralkan dan memasukan data saja. Menjadi :

$\\ \int_0^3 (x^2+px+2)\, dx= \frac{3}{2}\\\\ \left.\begin{matrix} \frac{x^3}{3}+\frac{px^2}{2}+2x \end{matrix}\right|_0^3 = \frac{3}{2}\\\\\Leftrightarrow f(3)- f(0) \\\\ \Leftrightarrow \frac{27}{3}+\frac{9}{2}p+6= \frac{3}{2} \\\\ p =-3$

Jawaban : C

Soal 22 (Trigonometri Dasar)

Pembahasan :

Soal ini bermuka dua kawan2, pgnya keliatan susah ternyata mudah. Untuk soal seperti ini, kita hanya perlu konsep trigonometri dasar bahwa :

Maka dari itu, kita perlu menggambar segitiganya. Karena sin α = a/1, maka gambar siku sikunya adalah sebagai berikut :

Karena yang ditanya adalah tan α, berdasarkan rumus di atas jawabannya adalah :

$\tan \alpha = \frac{a}{\sqrt{1-a^2}}$

Jawaban : D

Soal 23 (Trigonometri Dasar)

Pembahasan :

Pertama, kita gambar dahulu segitiganya. Kita sebut tinggi benderanya adalah h. dan jarak dari segitiga pertama ke bendera adalah x.

Maka, kita dapat gunakan rumus trigonometri untuk tan Ө karena kita tidak akan menggunakan sisi miring dari segitiga di atas.

Lihat segitiga 2, gunakan rumus tan Ө untuk mendapatkan persamaan utamanya (tan 45 = 1). Didapat :

$\\ \tan 45= \frac{ h}{10+x} \\\\ h = 10+x ...1)$

Simpan persamaan di atas, dan lihat segitiga 1. Lakukan hal yang sama untuk mencari nilai x. (tan 60 = √3) Didapat :

$\\ \tan 60 = \frac{h}{x} \\ \sqrt 3 = \frac{h}{x}$

Karena h adalah 10 + x, maka kita dapat subsitusikan 10 + x ke h.

$\\ \sqrt 3 = \frac{10+x}{x} \\ x \sqrt 3 = 10 +x \\ x \sqrt 3 -x = 10\\ x( \sqrt 3 - 1 )= 10\\\\x=\frac{10}{\sqrt 3 -1}$

Rasionalkan nilai x.

$x = \frac{10 }{\sqrt 3 -1} \cdot \frac{\sqrt 3 +1 }{\sqrt 3 +1}=5 \sqrt 3 + 5$

Setelah itu, nilai h bisa kita dapatkan dengan melihat persamaan 1.

$\\ h = 10 + x \\ h= 10+5 \sqrt 3 + 5 \\ h=15 +5\sqrt 3$

Jawaban : B

Soal 24 (Dimensi Tiga)

Disebuah museum terdapat minietur piramida berbentuk limas segiempat beraturan. Dari data museum diketahui panjang rusuk tegak piramida 4 meter dan membentuk sudut 30' di puncaknya. Luas satu sisi tegak piramida tersebut adalah...

Pembahasan :

Kita gambar dahulu limas segiempat beraturan sesuai soal.

Untuk soal ini, kita dapat gunakan langsung rumus luas segitiga yaitu :

$L = \frac{1}{2}ab \sin C$

Masukan ke rumus :

$L = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin 30 = \, 4\: cm^2 =400 \: dm^2$

Jawaban : C

Soal 25 (Dimensi Tiga)

Pembahasan :

Untuk menjawab pertanyaan dimensi tiga, selalu harus digambar. Berikut adalah gambaran dari soal di atas.

Jawaban : D

Soal 26 (Dimensi Tiga)

Pembahasan :

Pertama, gambar kubus sesuai soal.

Untuk mencari sudut antara kedua garis di atas, maka kita proyeksikan garis CF ke garis AH. Sehingga terbentuk segitiga sama sisi

Dan segitiga sama sisi semua sudutnya adalah 60 derajat.

Jawaban : D

Soal 27 (Lingkaran / Irisan Kerucut)

Pembahasan :

Untuk mengerjakan soal ini, kita akan menggunakan rumus umum persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu :

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Dengan (a,b) adalah pusatnya.

Lalu, kita masukan titik (3,-7) ke persamaan di atas. Sehingga kita bisa dapatkan jari jarinya.

$\\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\ (3+2)^2+(-7-5)^2=r^2 \\25 + 144 = r^2 \\ 169 = r^2 \\r = 13$

Ketika kita sudah mendapatkan jari jarinya, kita dapat masukan kembali ke persamaan umum lingkaran untuk mendapatkan persamaannya. Sehingga didapat persamaan lingkarannya :

$\\ (x-a)^2+ (y-b)^2 = r^2 \\ (x+2)^2 + (y-5)^2=169$

Jabarkan.

$\\ (x+2)^2 + (y-5)^2=169 \\ (x^2+4x+4)+(y^2-10y+25)-169 = 0\\x^2+y^2+4x-10y-140=0$

Jawaban : A

Soal 28 (Lingkaran / Irisan Kerucut)

Pembahasan :

Pertama, kita cari dahulu jari jari dan pusat dari lingkaran tersebut menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Didapat :

$\\ x^2+y^2-6x+4y+4=0 \\ (x-3)^2+(y+2)^2+4-9-4=0 \\ (x-3)^2+(y+2)^2 = 4 + 9 - 4 \\(x-3)^2+(y+2)^2 = 9$

Bentuk di atas merupakan bentuk persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) (Lihat persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) pada soal 27). Maka dari itu kita bisa langsung tentukan bahwa :

Pusat (a,b) = (3,-2)
Jari jari (r) = 3

Setelah menemukan jari jari dan pusat dari lingkaran tersebut. Kita bisa persamaan garis singgungnya menggunakan rumus persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) sebagai berikut :

$y - b = m (x-a)\pm r \sqrt{m^2+1}$

Dengan m adalah gradiennya.
Oh ya, untuk mencari gradiennya kita bisa cari dari garis 5x + 12y - 12 = 0 di soal. Maka gradien garis tersebut adalah (m1) :

$\\ y = mx +c \\ 5x + 12y - 12 = 0 \\\\ y = \frac{-5x+12}{12}\\\\m_1 = \frac{-5}{12}$

Nah karena garis ini tegak lurus dengan garis singgung lingkaran, maka m1 . m2 = - 1. Sehingga didapat :

$\\ m_1 \cdot m_2 = -1 \\\\ \frac{-5}{12}\cdot m_2 = -1\\\\m_2 = \frac{12}{5}$

Dimana m2 adalah gradien garis singgung dari lingkaran.

Setelah data terkumpul semua, kita bisa temukan persamaan garis singgungnya. Didapat :

$\\ y - b = m (x-a)\pm r \sqrt{m_2^2+1} \\ y+2 =\frac{12}{5} (x-3)\pm 3 \sqrt{(\frac{12}{5})^2+1}\\\\y+2 =\frac{12}{5}(x-3)\pm 3 \cdot \frac{13}{5} \rightarrow \times 5\\\\5y+10= 12(x-3)\pm 3 \cdot 13\\ 5y+10=12x-36\pm39 \\\\(+)\\5y+10= 12-36+39 \\5y-12x=-7 \times -1 \\ {\color{Red} -5y+12x=7}\\\\ (-) \\5y+10= 12x-36-39\\5y-12x=-85 \times -1 \\ {\color{Red} -5y + 12x = 85}$

Jawaban : A

Soal 29 (Transformasi Geometri)

Sorry, not solved yet..

Soal 30 (Statistika)

Pembahasan :

Diagram Ogive menggunakan frekuensi kumulatif di sumbu y-nya. Maka diagram yang tepat adalah sebagai berikut :

Jawaban : B

Soal 31 (Statistika)

Pembahasan :

Untuk mencari kuartil bawah (Q1) kita dapat gunakan rumus :

$Q_1 = t_b+(\frac{\frac{1}{4}n- \Sigma f_k}{f_i}) \cdot c$

Dengan :
tb = titik bawah (frekuensi bawah - 0,5)
n = Banyaknya data
fk = Frekuensi Kumulatif
fi = Frekuensi di kelas kuartil
c = Panjang Kelas (cth 44 - 49 --> panjang kelasnya (44,45,46,47,48,49) ada 5)

Untuk mencari titik bawahnya, kita cari dahulu Q1 letaknya dimana dengan menggunakan rumus :

$\textup{letak tb }= \frac{1}{4}n$

Setelah dihitung, banyaknya data(n) adalah 100. Maka Q1 terletak di :

$\textup{letak tb }= \frac{1}{4}100 =25$

Q1 terletak di frekuensi ke 25. Yang artinya ada di data ke 2 (45 - 49). Maka dari itu titik bawahnya adalah 45 - 0,5 = 44,5. Sekarang kita bisa masukan ke rumus untuk mencari Q1.

$\\ Q_1 = tb +(\frac{\frac{1}{4}n- \Sigma f_k}{f_i})c \\\\Q_1 = 44,5+(\frac{25-12}{20}) \cdot 5 = 47,75$

Jawaban : E

Soal 32 (Statistika)

Pembahasan :

Pertama, kita buat dahulu grafik di atas dalam bentuk tabel agar lebih mudah. Berikut adalah tabelnya :

Setelah itu, kita perhatikan tabel. Lihat frekuensi mana yang merupakan modus atau interval yang paling sering muncul. Dari data di atas, interval yang sering muncul adalah interval (86-90). Maka modusnya ada di interval tersebut.

Untuk mencari modusnya kita dapat gunakan rumus sbb :

$M_o = t_b + (\frac{d_1}{d_1+d_2}) \cdot c$

Keterangan :

Mo = Modus
Tb = Titik Bawah
d1 = Selisih dengan sebelum kelas modus
d2 = Selisih dengan sesudah kelas modus
c = Panjang Kelas

Masukan data ke rumus di atas :

$\\ M_o = t_b + (\frac{d_1}{d_1+d_2}) \cdot c \\ M_o = 85,5 + (\frac{13-10}{(13-10)+(13-8)}) \cdot 5 = 87,375$

Jawaban : E

Soal 33 (Peluang)

Pembahasan :

Akan disusun 3 angka berlainan, artinya akan ada 3 kotak atau 3 digit.

Syarat pertama : Bilangan di atas 500, artinya di digit depan angkanya tidak boleh lebih kecil dari 5. Maka kemungkinan yang bisa keluar adalah angka 5,6,8,9 (4 angka).

Kemudian, sisanya kita bisa isi angka berapapun selain 1 angka yang sudah terpakai tadi. Maka 2 kotak lainnya bisa kita isi dengan jumlah dari sisa angka yang sudah terpakai tadi. Maka dapat di isi :

Kalikan angka di atas :
4 x 5 x 4 = 60 cara

Jawaban : D

Soal 34 (Peluang)

Pembahasan :

Huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata dari namanya (ARKAN) . Artinya, ada 5 huruf. Namun, dari 5 huruf itu, ada 2 huruf yang sama. Maka kita dapat gunakan rumus permutasi untuk unsur yang sama :

$P = \frac{n!}{k!l!}$

Dengan P adalah permutasi unsur yang sama, n adalah jumlah huruf, dan k,l adalah unsur yang sama. Karena ada 2 huruf yang sama, maka :

$\\ P = \frac{n!}{k!l!} \\ \\P = \frac{5!}{2!}\\\\P= \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}=20 \cdot 3 = 60$

Lalu diikuti oleh 2 angka yang berbeda. Karena angka ada 10, maka kita bisa buat kotaknya :

Kemungkinan dari angka yang berbeda itu adalah 10 . 9 yaitu 90 cara.

Lalu, kalikan kedua hasil di atas.
90 . 60 = 5400 cara

Soal 35 (Peluang)

Pembahasan :

Dalam pemilihan kelompok diskusi, urutan tidak diperhatikan. Artinya di soal ini dapat digunakan kombinasi. Rumus dari kombinasi adalah :

$C_r^n = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

Maka berdasarkan soal dapat kita definisikan sebagai :

$\\\Leftrightarrow C_1^4 \cdot C_2^6 \\=4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Jawaban : D

Soal 36 (Peluang)

Pembahasan :

Pertama, kita gambar dulu diagram venn dari soal di atas.

Yang ditanya adalah peluang dari siswa yang suka keduanya (Irisan / yang di arsir merah di diagram). Untuk mencari irisannya kita dapat gunakan rumus himpunan yang didapat di SMP yaitu :

$S = A + B + C - \textup{Irisan}$

Dengan keterangan :

S = Semesta atau Jumlah keseluruhan kelompok.
A = Kelompok 1
B = Kelompok 2
C = Kelompok tidak suka keduanya
Irisan = Kelompok yang menyukai keduanya

Maka didapat irisannya adalah :

$\\ S = A + B + C - \textup{Irisan} \\ 36 = 15 + 20 + 6 - \textup{Irisan} \\ \textup{Irisan} = 5$

Setelah mendapatkan irisannya, kita bisa cari peluang siswa yang suka keduanya. Maka dapat diberlakukan rumus peluang :

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

Dengan P(A), peluang kejadian A, n(A), peristiwa terjadinya A, n(S) adalah total kejadian.

Masukan data ke rumus, didapat peluangnya adalah :

$\\ P(A)=\frac{n(A)}{n(S)} \\ \\ P(A)=\frac{5}{36}$

Jawaban E

Soal 37 (Persamaan Kuadrat)

Pembahasan :

Akar akar dari x² + 2x - 1 adalah x1 dan x2. Pertama, kita cari dahulu hasil kali dan jumlah dari akar akar persamaan kuadrat tersebut dengan rumus :

$\\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \\ x_1+x_2= \frac{-b}{a}$

Maka didapat bahwa :

$\\ x_1 \cdot x_2 = -1 \\ x_1 + x_2 = -2$

Simpan dulu persamaan di atas. Yang diminta soal adalah persamaan kuadrat yang memiliki akar akar (x1 +2)/2 dan (x2+2)/2, maka kita bisa umpamakan akar akar dari persamaan kuadrat baru tersebut adalah alfa dan beta seperti berikut :

$\\ \alpha = \frac{x_1+2}{2} \\\\ \beta = \frac{x_2+2}{2}$

Lalu, kita cari nilai dari α + β dan α . β, Untuk apa? Untuk kita masukan ke dalam rumus persamaan kuadrat baru sbb :

$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \cdot \beta=0$

Dengan alfa dan beta adalah akar akar persamaan kuadrat baru.

Jadi, α + β adalah :

$\\ (\alpha+\beta)=\frac{x_1+2}{2}+\frac{x_2+2}{2} \\\\ (\alpha+\beta)=\frac{x_1+x_2+4}{2}\\\\\textup{Subsitusikan nilai x1 dan x2 yang sudah didapat tadi.} \\\\ (\alpha+\beta)=\frac{-2+4}{2}= 1$

Sementara itu α . β adalah :

$\\ (\alpha \cdot \beta)=(\frac{x_1+2}{2})\cdot(\frac{x_2+2}{2})\\\\ (\alpha \cdot \beta)=(\frac{x_1x_2+2x_1+2x_2+4}{4})\\\\ (\alpha \cdot \beta)=(\frac{x_1x_2+2(x_1+x_2)+4}{4}) \\\\\textup{Subsitusikan nilai x1 dan x2 yang sudah didapat tadi.} \\\\ (\alpha \cdot \beta)=(\frac{-1+2(-2)+4}{4})=\frac{-1}{4}$

Subsitusikan nilai alfa dan beta ke rumus persamaan kuadrat baru, maka didapatlah persamaan kuadrat yang baru yaitu :

$\\ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \cdot \beta = 0 \\\\x^2 - x - \frac{1}{4} = 0 \rightarrow \times 4 \\\\4x^2-4x -1=0$

Dengan a = 4, b = -4,c = -1 . Karena yang diminta soal adalah 2a + b + c, subsitusikanlah.

$2(4)-4(1)-1=3$

Jawaban : 3

Soal 38 (Limit)

Pembahasan :

Karena fungsinya sama sama f(x), maka dapat kita simpulkan bahwa :

$\lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^+}f(x)$

Masukan ke f(x) ke persamaan.

$\\ \lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow c^+}f(x) \\\\\lim_{x\rightarrow 2}3x-p=\lim_{x\rightarrow 2} 2x+1 \\\\3(2)-p = 2(2)+1 \\ 6-p = 4 +1 \\p = 1$

Jawaban : 1

Soal 39 (Trigonometri Dasar)

Pembahasan :

Berdasarkan soal, fungsi di atas memotong sumbu x. Maka dapat disimpulkan bahwa f(x) = 0. Maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi :

$\\ f(x)= 2 \sin 3x-1 \\ 0 = 2 \sin 3x -1 \\\\\ \sin 3x = \frac{1}{2}$

Untuk mencari nilai x pada inverval 270 < x < 360, kita harus ingat rumus persamaan trigonometri sederhana yaitu :

$\\\textup{untuk}\sin x = \sin \theta\\x_1 = \theta \pm k \cdot 360 \\x_2 = (180-\theta) + \pm k \cdot 360$

Dengan k adalah angka berapapun.

Sementara, nilai sin yang menghasilkan nilai 1/2 adalah sin 30 dan sin 150. Maka kita harus coba satu persatu persamaan mana yang hasilnya masuk ke interval yang sudah ditentukan soal.

Untuk sin 3x = sin 30

$\\ \sin 3x = \sin 30 \\ 3x = 30 \pm k \cdot 360 \\x = 10 \pm k \cdot 120$

Sekarang kita perhatikan persamaan di atas. tidak ada nilai k yang mungkin untuk menghasilkan hasil di interval 270' sampai 360'. Maka persamaan di atas kita gunakan.

Sekarang kita gunakan rumus x2.

$\\ \sin 3x = \sin 30 \\ 3x = (180-30) \pm k \cdot 360 \\ x = 50 \pm k \cdot 120$

Kalau persamaan di atas, nilai k yang memungkinkan agar hasilnya masuk ke interval 270 sampai 360 adalah 2. Maka, kita coba masukan nilai k = 2

$\\ x = 50 \pm k \cdot 120 \\ x = 50 + 240 = 290'$

Artinya, nilai x yang memenuhi adalah 290'.

Jawaban : 290

Soal 40 (Peluang)

Pembahasan :

Disusun 3 angka berbeda, artinya ada 3 digit atau 3 kotak.

Syarat pertama adalah bilangan genap yang terdiri dari angka 2,3,4,5,7,9. Artinya ada 2 angka genap.

Sementara sisanya adalah dapat kita gunakan terkecuali 1 angka yang sudah dipakai tadi.

Jika jumlah angkanya ada 6 maka 2 kotak berikutnya adalah :

Kalikan semuanya. 4 x 5 x 2 = 40 cara.

Jawaban : 40

Statistik Kemunculan Per BAB UN 2018

Akar pangkat Logaritma : 2 Soal
Fungsi Komposisi : 2 Soal
Fungsi Kuadrat / Pers. Kuadrat : 3 Soal
SPLDV : 2 Soal
Program Linier : 2 Soal
Matriks : 2 Soal
Barisan dan Deret : 3 Soal
Limit : 2 Soal
Transformasi Geometri : 1 Soal
Turunan : 4 Soal
Integral : 2 Soal
Trigonometri Dasar : 3 Soal
Dimensi Tiga : 3 Soal
Lingkaran : 2 Soal
Statistika : 3 Soal
Peluang : 5 Soal

Fisika XII (X) - Fisika Inti Atom

Ujian Nasional Matematika 2018 - Soal dan Pembahasan II

Statistik Kemunculan Per BAB UN 2018