Wednesday, June 26, 2019

Matematika X (III) - Trigonometri Dasar

Trigonometri Dasar

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas satu materi yang sangat bikin kepala anak kelas 10 mumet.. Yaitu trigonometri! Yeaay!. Tenang, untuk pelajaran kelas 10, trigonometri gak serem kok.(gatau kalo udah masuk trigonometri lanjut ya wkkw).

A. Apa itu Trigonometri?

Sebelum masuk ke inti babnya, ada bagusnya untuk kita tau apa itu trigonometri. Trigonometri adalah perbandingan sudut-sudut dari sebuah segitiga siku-siku. Maksudnya perbandingan? Nah, itu dia inti utamanya. Kita akan kenalan sama 3 istilah penting yang namanya sinus, cosinus, dan tangent. Seperti apa mereka? Mari kita pelajari.

A.1 Perbandingan Trigonometri

Yang dimaksud dengan perbandingan trigonometri adalah perbandingan antara satu sisi segitiga siku-siku dengan sisi segitiga siku-siku yang lainnya. Bingung kan? sama.. Ngga deng, lihat gambar berikut!

Berdasarkan gambar di atas, perbandingan trigonometri tersebut meliputi sinus,cosinus, dan tangent. Berikut adalah rumus perbandingannya.

Rumus Perbandingan Trigonometri

Istilah - istilah di atas menggunakan bahasa Inggris, karena menurut saya menghafalnya lebih gampang daripada yang versi Indo.. Nah begini cara mengingatnya..

Cara mengingat rumus trigonometri

Umpamakan istilah tersebut menjadi : Adjacent (A), Opposite (O), Hypotenuse (H). Lalu, hafalkan kata berikut :

SOH CAH TOA

Sin Opposite/Hypotenuse Cos Adjacent/Hypotenuse Tan Opposite/Adjacent

Jujur, sampai sekarang saya masih pake cara ini untuk mengingat rumus di atas.

Sebagai Catatan :

Tidak semua segitiga Opposite dan Adjacentnya sama. Cara menentukannya bisa seperti ini :

1. Tarik panah dari sudut ke arah garis yang tegak lurus.
2. Garis yang tertunjuk merupakan sisi depan, dan bawahnya adalah adjacent dan yang sisanya ada hypotenuse.

Dengan begitu, akan lebih mudah dalam menentukan A dan O dalam satu segitiga siku-siku.

B. Aturan Sudut

Aturan sudut disini, jika dikelaskan menggunakan bahasa sehari-hari adalah letak dari satu perbandingan trigonometri yang nilainya positif atau negatif. Perhatikan gambar berikut

Di gambar tersebut menjelaskan dimana posisi sinus,tangent,cosinus yang nilainya positif. Sementara sisanya adalah negatif.

Sebagai contoh :

Sin 150 bernilai (+) karena berada di kuadran II
Cos 150 bernilai (-) karena cos (+) di kuadran IV.

C. Sudut - Sudut Istimewa

Apasih itu sudut istimewa? Sudut istimewa adalah sudut-sudut yang biasa digunakan untuk mempermudah perhitungan trigonometri, sudut ini biasa kita dapat tanpa menggunakan kalkulator. Perhatikan tabel berikutr!

Sudut istimewa ini harus dihafal karena akan banyak sekali digunakan dalam perhitungan trigonometri. Baik di mapel fisika ataupun matematika.

D. Mencari Sudut di Luar Sudut Istimewa

Nah, kalau tadi kita sudah kenalan sama sudut istimewa, sekarang kita kenalan sama salah satu fungsi dari sudut istimewa yaitu mencari sudut di luar sudut istimewa. Untuk mencarinya kita harus mengetahui beberapa rumus berikut.

Rumus Mencari Sudut di Luar Sudut Istimewa

Cara menghafalnya mudah sekali, yaitu dengan memahami konsep Aturan Sudut di Bagian B, kalian sudah ahli sekali untuk bagian ini hehe. Sebagai contoh penggunaannya :

Contoh soal :

Nilai dari sin 150 adalah...

Jawab :

Untuk mencari nilai sin 150, kita harus mengetahui di kuadran sin berapa sin 150 itu berada..
Karena kuadran II meliputi sudut 90' sampai 180', maka 150' ada di kuadran II.
Setelah itu, kita masukan ke rumus kuadran II untuk sinus, menjadi :

sin (180 - a ) = sin a
sin (180 - 30) = sin 30

Kenapa 30? karena 180 - 30 adalah 150(sudut yang kita cari), maka :
sin (150) = sin 30.

Lihat, sudut istimewa. Sin 30 adalah 1/2. Maka kita bisa ambil kesimpulan bahwa :
sin 150 = 1/2.

E. Persamaan Trigonometri

Apasih persamaan trigonometri? Persamaan trigonometri adalah persamaan yang digunakan untuk mencari nilai dari satu perbandingan trigonometri yang senilai. Sebagai contoh, tadi kita sudah menghitung nilai dari sin 150.,Dann hasilnya sama dengan sin 30! Sebenarnya masih ada lagi sudut-sudut yang serupa. Nah mencarinya dengan menggunakan persamaan trigonometri ini.

Untuk mencarinya, kita dapat menggunakan rumus berikut.

Rumus Persamaan Trigonometri

Dengan Keterangan :

k = bilangan berapapun

x = Sudut persamaan yang dicari.

Contoh Soal :

Himpunan penyelesaian f(x) = 2 sin x - 1 saat memotong sumbu x dalam interval 0' < x < π adalah...

Jawab :

Untuk menjawab soal ini, kita harus tahu dulu bahwa jika suatu fungsi memotong sumbu x, maka pada saat itu y = f(x) adalah 0. Maka persamaanya bisa kita ubah menjadi :

f(x) = 2 sin x - 1

0 = 2 sin x - 1

2 sin x = 1

Setelah itu, ubah bentuk di atas menjadi bentuk sin x = sin a (lihat rumus).

2 sin x = 1

sin x = 1/2

Nah, nilai sin yang hasilnya 1/2 adalah sin 30. Subsitusikan 1/2 dengan sin 30'. Lalu masukan ke rumus.

sin x = sin 30

x = 30 ± k . 360

Setelah itu, cari berapa nilai 'k' yang kalau kita masukan ke dalam persamaan akan memenuhi interval 0 < x < π.

⟶ Jika k = 0 ; x = 30 + 0 = 30' (memenuhi)

⟶ Jika k = -1 ; x = 30 - 360 = -330' (tidak memenuhi)

Lalu, kita gunakan rumus kedua untuk sin(karena sin punya 2 rumus kan). Didapat :

x = 180 - a ± k .360

x = 180 - 30 ± k. 360

x = 150 ± k. 360

Lakukan uji coba lagi.

⟶ Jika k = 0 ; x = 150 + 0 = 150' (memenuhi)

⟶ Jika k = -1 ; x = 150 - 360 = -210' (tidak memenuhi)

Lalu, ambil semua nilai yang memenuhi. dan itulah jawabannya.

HP = {30' , 150'}

Jadi, himpunan penyelesaian yang sesuai dengan soal diatas adalah HP = {30' , 150'}

F. Identitas Trigonometri

Untuk identitas trigonometri ini, kita harus hafal betul rumusnya. Karena, rumus-rumus ini akan digunakan terus selama belajar trigonometri. Khususnya, saat menjawab soal. Berikut adalah identitas Trigonometri.

Rumus Identitas Invers Trigonometri

Rumus Identitas Invers Phytagoras
Stop dulu disitu, kita akan lakukan penurunan rumus kali ini.. Biar seru! Ini adalah konsep atau penurunan bagaimana cara kita mendapat Identitas Phytagoras Trigonometri.

Perhatikan gambar berikut!

Berdasarkan rumus phytagoras, kita dapat turunkan beberapa identitas trigonometri yang akan sangat berguna nantinya. Berikut adalah penurunannya :

Penurunan I

Pertama, kita ingat dulu rumus phytagoras bahwa a² + b² = c². Dengan melihat gambar segitiga di atas, maka a,b, dan c bisa di subsistusikan menjadi x² + y² = r². Dengan membagi semua ruas dengan r², maka didapat :

$\\ x^2+y^2 =r^2 \\\\ (\frac{x}{r})^2+(\frac{y}{r})^2=(\frac{r}{r})^2 \\ \\ (\frac{x^2}{r^2})+(\frac{y^2}{r^2})=1$

Dengan mengingat bahwa x/r dan y/r berturut turut adalah sin dan cos, maka didapatlah persamaan identitas sebagai berikut :

${\color{Red} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1}$

Penurunan II
Dengan cara yang sama, kita bisa modifikasi hasil penurunan rumus pertama menjadi bentuk lain dengan membagi semua ruas dengan cos θ, maka :

$\\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\\\ (\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta})+ (\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta})=(\frac{1}{\cos^2 \theta}) \\\\ (\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta})+ 1 = (\frac{1}{\cos^2 \theta})$

Dengan mengingat bahwa sin θ / cos θ dan 1/ cos θ berturut turut adalah tan θ dan sec θ, maka didapatlah persamaan identitas sebagai berikut :

${\color{Red} \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta}$

Penurunan III
Dengan cara yang sama, kita bisa modifikasi hasil penurunan rumus pertama menjadi bentk lain dengan membagi semua ruas dengan sin θ, maka :

$\\ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \\ \\ (\frac{\sin^2 \theta}{\sin ^2\theta}) + (\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta})= (\frac{1}{\sin^2 \theta}) \\\\ 1 + (\frac{\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta})= (\frac{1}{\sin^2 \theta})$

Dengan mengingat bahwa cos θ / sin θ dan 1/ sin θ berturut turut adalah cot θ dan csc θ, maka didapatlah persamaan identitas sebagai berikut :

${\color{Red} 1+ \cot^2 \theta = \csc^2 \theta}$

Kesimpulan!
Berdasarkan penurunan rumus diatas, maka identitas trigonometri dari rumus phytagoras adalah sbb :

Rumus Identitas Trigonometri Phytagoras!

Ingat ya, rumus di atas sangat penting.. Kalo lupa ya turunin aja kayak tadi.. Ga susah kan? hehe

G. Grafik Fungsi Trigonometri

Kalo ngomongin fungsi, ga asik juga kalo ga ngomongin grafiknya. Berikut adalah grafik fungsi dari fungsi sinus dan cosinus.

Dengan a adalah amplitudo atau jarak terjauh dari absis ke a.

Untuk grafik sinus, nanti di pelajaran fisika akan banyak digunakan dalam menghitung amplitudo gelombang, cepat rambat, panjang gelombang dll. Jadi, untuk konsepnya harus paham yaa.

H. Aturan Sinus

Aturan sinus menyatakan tentang hubungan antara sudut segitiga dengan panjang sisinya. Biasanya aturan sinus digunakan untuk mencari sudut atau panjang sisi sebuah segitiga jika diketahui :
1. Sisi - Sisi - Sudut
2. Sudut - Sudut - Sisi
Untuk mencarinya dapat menggunakan rumus berikut :

Rumus Aturan Sin
Perhatikan gambar berikut!

Dengan keterangan :

(A,B,C) = Sudut
(a,b,c) = Panjang sisi.

I. Aturan Cosinus

Aturan cosinus digunakan untuk mencari panjang sisi atau sudut dari suatu segitiga jika diketahui : 2 sisi dan 1 angle. Untuk mencarinya dapat menggunakan rumus berikut :

Rumus Aturan Cosinus
Perhatikan Gambar berikut!

Dengan keterangan :

(A,B,C) = Sudut
(a,b,c) = Panjang sisi.

G. Luas Segitiga Sembarang

Luas segitiga sembarang dengan sudut tertentu bisa diukur menggunakan persamaan berikut :

Rumus Luas Segitiga Sembarang

Dengan L adalah luas.

Untuk bagian III udahan dulu yaa.. Materinya dah tamat..

Terimakasih sudah mampir! Semoga sehat terus dan belajar terus!

IG : @worldofequations
@flxnothere

Tuesday, June 25, 2019

Matematika X (II) - [1.2] Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat

Berbeda dengan fungsi kuadrat, persamaan kuadrat tidak lagi dalam bentuk f(x). Persamaan kuadrat biasa didapat dari fungsi kuadrat yang memotong sumbu x. (y = 0).

Bentuk umum dari persamaan kuadrat :

$ax^2+bx+c = 0$

Ya, benar.. Hasilnya nol.

B.1 Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

Untuk membentuk persamaan kuadrat baru dapat menggunakan rumus berikut :

Dengan keterangan :

α dan β = Akar-akar dari persamaan kuadrat baru.

Darimana rumus itu? nanti kita coba turunin di thread lain yaak! seru kok haha

B.2 Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat, bisa menggunakan 2 cara yaitu :

1. Menggunakan Faktor

Jika ada pers. kuadrat ax² + bx + c = 0, Faktorkan bentuk tersebut menjadi bentuk berikut :

$(x-\alpha)(x-\beta)=0$

Maka dari itu, akar-akarnya adalah sebagai berikut :

x = α dan x = β

2. Menggunakan rumus ABC.

Rumus ini adalah rumus yang cukup populer untuk mencari akar-akar dari persamaan kuadrat.

Rumus mencari akar persamaan kuadrat (Rumus ABC) :

Untuk penurunan rumus ini akan dibahas di thread selanjutnya:p

B.3 Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar - Akar persamaan Kuadrat.

Jika ada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yang memiliki akar-akar a dan b, maka Jumlah dan Hasil kali akar-akarnya adalah sebagai berikut :

Rumus di atas sering muncul di beberapa soal UN, dan yang keluar biasanya tidak hanya 1 soal. Jadi, sangat penting untuk menghafal rumusnya..

Okee, ini adalah akhir dari BAB II tentang fungsi dan persamaan kuadrat.

Next, kita akan lanjut tentang Logika Matematika.

Tetap sehat terus agar bisa belajar terus!

IG : @worldofequations

@flxnothere

Matematika X (I) - [1.2] Logaritma

Logaritma

Halo, kembali bersama saya Felix sebagai pengisi konten di World of Equations ini. Kali ini akan membahas tentang yang namanya Logaritma. Sebelum kita masuk ke pembahasan yang lebih dalam kita harus tahu dulu

Apa itu Logaritma?

Singkatnya, logaritma adalah bentuk invers dari pangkat. Secara matematis, logaritma dinotasikan sebagai :

$a^b =c \Leftrightarrow \log_a{c}=b$

Dengan a adalah basis, b adalah bilangan yang di-logaritma dan c adalah hasil.

Aneh ya? kok beda bentuknya sama yang diajarin di sekolah? Entah saya juga tidak tahu, orang luar biasa menotasikan basis-nya di bawah sementara yang kita dapat di sekolah basisnya di atas seperti berikut :

$a^b =c \Leftrightarrow ^a\log{c}=b$

Namun keduanya sama saja.

Sifat Logaritma

Untuk mempelajari logaritma, kita harus tahu dulu beberapa sifat berikut.
$\\ ^a \log b = c \Leftrightarrow a^c= b...1)\\ \ ^a \log a = 1...2)\\ ^a \log b = \frac{1}{^b \log a} = \frac{^k \log b}{^k \log a}; \textup{k bilangan berapapun}...3)\\^a \log (bc)= ^a \log b+ ^a \log c...4)\\^a\log (\frac{b}{c})= ^a\log b - ^a\log c ...5)\\^a \log b \cdot ^b \log c = ^a \log c...6)\\ \log_{a^m}b^n = (\frac{n}{m}) ^a\log b..7) \\(a)^{ \log_a b}=b...8)$
Sifat di atas harus dihafal, mengingat soal-soal SBMPTN dan soal UN sering memunculkan logaritma.

Persamaan Logaritma

Sebenarnya persamaan logaritma ini jarang keluar di soal-soal, tapi dalam perhitungan logaritma, sering sekali kita akan mendapatkan persamaan logaritma. Maka dari itu berikut persamaan logaritma :

$\\ ^a \log f(x) = ^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x)...1) \\ ^a \log f(x) = ^a \log f(x) \rightarrow f(x) = 1 ...2)\\$

Kedua persamaan ini akan sering digunakan pada saat soal logaritma dikerjakan.

Pertidaksamaan Logaritma

Berikut adalah bentuk dari pertidaksamaan logaritma dan penyelesaiannya.

Untuk a > 1

$\\ ^a\log f(x) \geq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\geq g(x)...1)\\ ^a\log f(x) \leq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\leq g(x)...2) \\ ^a \log f(x) \geq b \rightarrow f(x) \geq a^b...3)$

Untuk < a < 1

$\\ ^a\log f(x) \geq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\leq g(x)...1)\\ ^a\log f(x) \leq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\geq g(x)...2) \\ ^a \log f(x) \geq b \rightarrow f(x) \leq a^b...3)$

Cara ngafalnya, kalau a > 1 inget aja kalo penyelesaiannya ngikutin tanda. Untuk 0 < a < 1, tanda-nya kebalikan.

Grafik Fungsi Logaritma

Untuk yang ini, bonus aja untuk kita mengetahui gimana sih bentuk fungsi logaritma jika digambarkan dalam grafik.! Kali ini kita dibantu oleh desmos.com lagi.

Yang mau lihat lengkapnya silahkan buat sendiri di desmos.com

Logaritma Natural (ln)

Untuk pengenalan saja, logaritma natural atau ln adalah logaritma yang berbasis e (bilangan euler) ≈ 2,71828. Untuk sifatnya ya sama saja dengan logaritma biasa. Notasinya adalah sebagai berikut :

$^e \log x = \ln x$

Kalian akan banyak ketemu ln di integral dan turunan nanti hehe..

Untuk bagian I udahan dulu yaa.. Materinya dah tamat..

Yang mau lanjutin, kalian bisa lanjut di link berikut :

Matematika (II) - Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Terimakasih sudah mampir! Semoga sehat terus dan belajar terus!

IG : @worldofequations
@flxnothere

Matematika X (II) - Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Pada BAB ini, akan menceritakan (menceritakan yee) tentang fungsi yang sudah tidak linier lagi. Maksudnya fungsi yang sudah tidak linier? Iya, fungsinya tidak lagi lurus namun melengkung seperti Parabola.

A. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat, artinya fungsi yang berbentuk parabola atau tidak linier. Notasi dari fungsi kuadrat adalah sebagai berikut :

$f(x)=ax^2+bx+c$

Dengan a ≠ 0. Kenapa gaboleh 0? kalo a = 0 jadinya fungsi linier dong pak wkwk. [f(x) = bx + c]

A.1 Koordinat Titik Puncak dan Sumbu Simetri Fungsi Kuadrat.

Seperti yang sudah dibahas tadi, fungsi kuadrat bentuknya parabola. Maka, suatu parabola akan mempunyai titik puncak dong. Sebelum masuk ke titik puncak, titik puncaknya parabola itu dimana sih? Lihat gambar berikut!

Titik warna merah itu adalah titik puncak dari parabola grafik fungsi kuadrat, sementara garis orangenya adalah sumbu simetri-nya.

Maka dari itu, rumus untuk mencari titik puncak dari suatu fungsi kuadrat adalah :

Rumus Titik Puncak Fungsi Kuadrat

Keterangan :

(xp,yp) = Koordinat titik puncak

b = Koefisien x dari suatu fungsi kuadrat [f(x) = ax² + bx + c]

c = Konstanta dari suatu fungsi kuadrat [f(x) = ax² + bx + c]

a = Konstanta x² dari suatu fungsi kuadrat [f(x) = ax² + bx + c]

Dan rumus sumbu simetri fungsi kuadrat :

Keterangan :

x = sumbu simetri sumbu x.

b = Koefisien x dari suatu fungsi kuadrat [f(x) = ax² + bx + c]

a = Konstanta x² dari suatu fungsi kuadrat [f(x) = ax² + bx + c]

A.2 Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Ini adalah bagian yang lumayan core di bab ini. Di UN 2019, ditanyakan teori tentang sifat grafik fungsi kuadrat. Yang pastinya HOTS.. Maka dari itu, penting untuk mengetahui sifat grafik fungsi kuadrat ini.

Sifat Grafik Fungsi Kuadrat :

1 .Parabola terbuka ke atas jika a > 0 (Senyum)
2. Parabola terbuka ke bawah jika a < 0 (Sedih)
3. Jika a > 0 titik baliknya minimum
4. Jika a < 0 Titik baliknya maksimum
5. Jika titik memotong sumbu x, maka y = 0
6. Jika titik memotong sumbu y, maka x = 0
7. Jika garis menyinggung garis lain, maka titik potongnya adalah y1 = y2

A.3 Fungsi Definit Positif dan Definit Negatif.

Apasih arti definit positif dan definit negatif? Berikut adalah penggambaran fungsi definit positif dan definit negatif.

Singkatnya, jika dijelaskan menggunakan bahasa sehari-hari.

Definit Positif : Parabola TERBUKA yang melayang dan tidak menyentuh sumbu x.

Definit Negatif : Parabola TERTUTUP yang melayang dan tidak menyentuh sumbu x.

Untuk cirinya adalah sebagai berikut :

1. Ciri Definit Positif : a > 0 dan D < 0

2. Ciri Definit Negatif : a < 0 dan D < 0

By the way, itu apaan bang ada 'D'? tiba2 muncul aja.. Santai2, ini mau dijelasinn..

D itu artinya adalah Diskriminan. Apa itu diskriminan? akan dibahas di sub-bab berikutnya.

A.3 Diskriminan suatu Fungsi (D)

Sudah disinggung di A.2 tadi, diskriminan adalah suatu bentuk aljabar yang membedakan jumlah akar dari suatu fungsi.

Rumus Diskriminan :

Dengan keterangan :

D = Diskriminan (D)

(b dan c) = liat sendiri di atas ya di rumus titik puncak dan sb. simetri..

Nah,katanya kan diskriminan adalah bentuk aljabar yang membedakan jumlah akar dari suatu fungsi. Apasih pembedanya itu?

Membedakan Jumlah Akar suatu Fungsi Kuadrat

1. Jika D > 0, maka akar-akarnya Real

2. Jika D = 0, maka akar akarnya Real dan Kembar

3. Jika D < 0, maka akar-akarnya Tidak Nyata (seperti pacarmu:v)

A.4 Menggambar Fungsi Kuadrat

Yay! Menggambar!! No, ini bukan kelas menggambar bosq. Untuk menggambar fungsi kuadrat, kita memerlukan :

Tahap - tahap menggambar fungsi kuadrat :

1. Tentukan apakah parabola terbuka keatas atau kebawah

2. Tentukan titik puncak / titik balik
3. Tentukan Sumbu Simetri
4. Gambarkan grafiknya.

Maaf mengecewakanmu dengan judul clickbait.

A.5 Membentuk Fungsi Kuadrat

Untuk membentuk fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan rumus-rumus berikut sebagai bantuan kita. Tergantung apa yang diberikan oleh soal.

1. Memotong di sumbu x di A(x1,0) dan B(x2,0) dan melalui titik tertentu

Rumusnya adalah :

2. Melalui Titik Puncak (xp,yp)

Rumusnya adalah :

3. Melalui Titik A(x1,y1), B(x2,2), dan C(x3,y3)

Rumusnya adalah :

Ketiga rumus di atas harus hafal ya.. Sangat berguna apalagi pas UN!

Untuk persamaan kuadrat kita lanjut di slide berikutnya ya!

Klik link berikut untuk lanjut

Matematika X (II) - [1.2] Persamaan Kuadrat

Semoga sehat terus agar bisa belajar terus!

IG : @worldofequations

@flxnothere