Matematika XII (I) - Integral - World of Equations

Integral

A. Definisi

Integral merupakan salah satu dari anaknya kalkulus. Integral merupakan lawan dari turunan. Integral banyak diterapkan dalam kehidupan sehari - hari, seperti mencari luas daerah dll..

B. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu merupakan integral yang masih memiliki konstanta C atau masih belum tentu nilai aslinya. Mengapa ada nilai C? karena jika kita menurunkan suatu fungsi dengan konstanta, konstanta itu akan nol dan tidak akan bisa terdeteksi menggunakan integral tak tentu, kecuali jika nilai f(x) diketahui.

Berikut adalah bentuk dari integral tak tentu :

$\int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}\cdot x^{n+1 }+C$

Dengan C adalah kosntanta

C. Integral untuk bentuk 1/x

Bentuk integral untuk pangkat minus satu dapat didefiniskan sebagai :

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x|+C$

Dengan C adalah kosntanta

D. Sifat Integral Tak Tentu Secara Umum.

Berikut adalah bentuk integral tak tentu yang harus dihafal. :

$\\ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}\cdot x^{n+1}+C \\ \\\int \frac{1}{x}\, dx = \ln |x| +C \\\\ \int e^x \, dx = e^x +C\\ \\\int a^x \, dx = \frac{a}{\ln a}+C \\\\$

Sifat Operasi Integral :

$\\ \int f(x)\pm g(x)\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx \\\\ \int k f(x) \, dx = k \int f(x)\, dx \\ \\ \int k \, dx = x + C$

E. Integral Subsitusi

Integral Subsitusi digunakan untuk mencari nilai integral yang kompleks. Integral subsitusi adalah memisalkan suatu suku dengan variabel agar perhitungannya lebih mudah.

Contoh :

$\int 3x \cdot (3x^2+3)^{10}\, dx$

Jawab :

Pertama, kita misalkan bilangan yang kompleks (3x^2 + 3) menjadi lebih sederhana. Kita misalkan menjadi t. Dengan begitu, dx juga harus berubah menjadi dt menggunakan differensial. Maka :

$\\ (3x^2+3) = t\\\\\frac{d(3x^2+3)}{dx} = 6x \\\\ d(3x^2+3)=6x\, dx \\\\ dx=\frac{d(3x^2+3)}{6x} \Leftrightarrow dx= \frac{dt}{6x}$

Hubungkan ke soal, subsitusikan 3x² + 3 menjadi t dan dx menjadi dt/6x. Maka :

$\\ \int 3x \cdot (3x^2+3)^{10}\, dx \\\\ \int 3x \cdot t^{10} \, \frac{dt}{6x}$

Coret x, dan keluarkan konstantanya.

$\\ \int {\color{Red} 3x} \cdot t^{10} \, \frac{dt}{\color{Red} {6x}} \\ \\\int \frac{1}{2} t^{10}dt$

$\frac{1}{2}\int t^{10}\, dt \\\\$

Lakukan peintegralan seperti biasa, lalu subsitusikan t menjadi 3x^2+3 menjadi :

$\\ \frac{1}{2}(\frac{t^{11}}{11})+C\\\\\frac{1}{22}t^{11} +C \\\\\frac{1}{22}\cdot (3x^2+3)+C$

F. Integral Trigonometri

Berikut adalah bentuk integral trigonometri yang harus dihafal. :

$\\ \int \sin x \, dx = - \cos x + C\\\\ \int \cos x \, dx = \sin x + C\\\\ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \\\\ \int \csc^2 x \, dx = -\cot x+ C \\\\ \int \sec x \tan x\, dx = \sec x + C \\\\\ \int \csc x \cot x\, dx = -\csc x + C \\\\ \int \sin (ax+b) \, dx = -\frac{1}{a}\cos x + C$

Ingat juga rumus trigonometri yang akan sering kita gunakan :

$\\ 2\sin A \cos B = \sin (A+B)+\sin(A-B)\\\\ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B)-\sin (A-B) \\ \\ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) - \cos (A-B)\\ \\ 2 \sin A \sin B = -(\cos (A+B)- \cos (A-B))$

G. Integral Trigonometri Pangkat Beda

Jika ada bentuk integral :

$\int \sin^m \x \cos ^n x \, dx$

Maka subsitusikanlah sin dan cos kedalam bentuk berikut :

Pangkat Ganjil

$\\ \sin^2 x = 1-\cos^2 x\\ \\ \cos^2x = 1- \sin^2 x$

Pangkat Genap

$\\ \sin^2 x = \frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2} \\ \\ \cos^2x = \frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}$

G. Integral Subsitusi Trigonometri

Jika ada bentuk integral sebagai berikut, ubahlah kedalam bentuk :

$\\ \int \sqrt{1-x^2}\, dx \Leftrightarrow x = \sin \theta\\ \\ \int \sqrt{1+x^2}\, dx \Leftrightarrow x = \tan \theta \\\\\int \sqrt{x^2-1}\, dx \Leftrightarrow x = \sec \theta$

F. Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang tanpa menggunakan konstanta C lagi. Dirumuskan sebagai :

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b)-F(a)$

Dengan F adalah fungsi awal

G. Integral Luas.

Berikut adalah rumus dari integral luas.

Dirumuskan sebagai :

$L =| \int_{a}^{b} f(x)\, dx\, |$

Dibatasi 2 Kurva :

Dirumuskan Sebagai :

$L=\int_a^b(g-f)(x)\, dx \Leftrightarrow L=\int_a^b \textup{fungsi atas}-\textup{fungsi bawah} \, dx$

Untuk kurva yang titik potongnya (y1 = y2) menghasilkan persamaan kuadrat (ax² + bx + C), dapat menggunakan rumus cepat sebagai berikut :

$L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Dengan D adalah determinan yang rumusnya :

$D = b^2 - 4ac$

Dibatasi Garis Lain :

Dirumuskan Sebagai :

$L= \int_a^b (f-g)(x)+\int_{b}^{c}f(x)\, dx$

Terhadap sumbu Y :

Dirumuskan Sebagai :

$L= \int_a^b f(y)\, dy$

G. Integral Volume

Diputar Terhadap Sumbu X :

$V= \pi \int f^2(x)\, dx$

Diputar Terhadap Sumbu Y :

$V= \pi \int f^2(y)\, dy$

F. Integral Parsial

Integral Parsial merupakan metode jitu dalam menyelesaikan suatu integral yang sangat kompleks.

Integral Parsial didapat dari rumus turunan sebagai berikut :

Ingat rumus perkalian turunan berikut :

$f(x)= u \cdot v \Leftrightarrow {\color{Red} \frac{df(x)}{dx}= v \cdot u' + u \cdot v'}$

Karena f(x) adalah u . v, maka df(x) bisa kita ubah menjadi d(uv). Maka persamaannya akan menjadi sebagai berikut :

$\\ \frac{d(u \cdot v )}{dx} = v \cdot u' + u \cdot v' \\\\ d(u \cdot v ) = v \cdot u' \: dx+ u \cdot v'\: dx \\\\$

Karena u' dx adalah du dan v' dv adalah dv, maka dapat disubsitusikan menjadi sebagai berikut :

$\\ d(u \cdot v ) = v \cdot du+ u \cdot dv \\ u \cdot dv = d(u \cdot v)-v \cdot du \\\\$

Untuk memperoleh rumus integralnya, kita integralkan kedua ruas agar 'd' bisa hilang. Didapat :

$\\ u \cdot dv = d(u \cdot v)-v \cdot du \\ \int u \: dv = \int d(u \cdot v)- \int v \: du$

Karena integral dari d(uv) adalah u . v, maka didapatlah rumus integral parsial sebagai berikut :

Akan tetapi ada teknik cepat dalam menyelesaikan integral parsial. Teknik tersebut disebut dengan

Teknik Tanjalin

Dengan teknik ini, kita akan membuat tabel u dan dv seperti berikut :

Dengan menurunkan tabel sebelah kiri sampai nilainya nol, dan men-integralkan tabel sebelah kanan. Lalu kalikan menyerong ke bawah seperti panah merah di atas. Akan tetapi tanda operasinya akan berubah selang seling seperti gambar di atas.

Contoh :

$\int x \sin x \, dx=...$

Jawab :

Menggunakan rumus integral parsial biasa, penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

Misalkan u adalah x dan sin x adalah dv. Note : usahakan variabel u adalah variabel yang diturunkan bisa mencapai nilai nol. (karena f"(x) dari x adalah 0). Maka persamaanya akan menjadi :

$\\ u = x\: \: \: \: dv=\sin x \\ du = 1 \: \: \: \: v = - \cos x$

Ingat bahwa integral dari sin x adalah -cos x. Maka didapatlah hasil :

$\\ \int u \: dv = uv - \int v \: du \\\\ \Leftrightarrow \int x \sin x\, dx = x \cdot (-\cos x)-\int -\cos x \, dx$

Maka dari itu, didapatlah hasil :
${\color{Red} - x \cos x + \sin x + C}$

Menggunakan teknik tanjalin (cara cepat), kita dapat buat tabel untuk u dan dv seperti dibawah :

Setelah itu, kalikan menyerong kebawah mengikuti panah merah di atas dengan mengikuti tanda di atas secara selang seling. Maka jika dikalikan didapat hasil :

$\\ \Leftrightarrow x \cdot (- \cos x ){\color{Red} -} (- \sin x )\cdot 1 \\\Leftrightarrow {\color{Red} - x \cos x + \sin x + C}$

Matematika XII (I) - Integral

No comments:

Post a Comment