Matematika X (I) - [1.1] Pangkat dan Bentuk Akar

Pangkat dan Bentuk Akar

A. Perpangkatan dan Eksponen

Apa itu pangkat? Pangkat artinya mengalikan bilangan yang sama sebanyak n kali. Pangkat biasa dinotasikan sebagai berikut :

$a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a_n$

Dengan n adalah pangkat dari a.

A.1 Sifat Perpangkatan

$\\ a^n = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a_n...1)\\ \frac{1}{a^n}=a^{-n}...2)\\\\ (a^x)^y= a^{xy}...3)\\\\ a^n \cdot a^m = a^{m+n}...4)\\\\(\frac{a^m}{a^n})= a^{m-n}...5)\\\\ (a^m \cdot a^n)^p = a^{mp} \cdot a^n^p...6)$

Dengan mengingat ke-6 sifat perpangkatan di atas, kamu pasti sudah bisa menyelesaikan soal eksponen yang lebih kompleks.

Contoh Soal :

Tentukan bentuk sederhana dari :

$\frac{4^{t-1}\cdot 2^{2-2t}}{16\cdot 2^{2-t}}=...$

Jawab :

Untuk menjawab soal ini, kita memerlukan sifat perpangkatan. Pertama, kita ganti dulu angka 4 dan 16 jadi angka yang berbasis 2 menggunakan sifat pangkat. Hasilnya :

$\frac{(2^2)^{t-1}\cdot 2^{2-2t}}{2^4\cdot 2^{2-t}}$

Setelah itu, kita dapat gunakan sifat pangkat nomor 3 di atas untuk menyelesaikan (2^2)^t-1. Menjadi :

$\frac{{\color{Red} 2^{2t-2}}\cdot 2^{2-2t}}{2^4\cdot 2^{2-t}}$

Setelah itu, menggunakan sifat nomor 4 jumlahkan pangkatnya.

$\frac{ 2^{{\color{Red} 2t-2 + 2-2t}}}{2^{{\color{Red} 4+2-t}}}$

Sederhanakan.

$\frac{ 2^{{\color{Red} 0}}}{2^{{\color{Red} 2-t}}}$

Ingat, bahwa setiap bilangan berpangkat 0 adalah 1. Sederhanakan lagi menggunakan sifat nomor 2 menjadi :

$\\ \frac{ 1}{2^{{\color{Red} 2-t}}} = 2^{-(2-t)}=2^{-2+t}$

Jadi, bentuk sederhana dari soal di atas adalah $2^{-2+t}$

A.2 Grafik Fungsi Eksponen

Grafik fungsi dari pangkat adalah melengkung. Berikut adalah grafik fungsi dari suatu fungsi f(x) = a^x dan f(x) = a^-x

Dengan mengetahui grafik fungsi eksponen ini, akan memudahkan kita dalam mencari luas daerah untuk fungsi eksponen menggunakan Integral.

A.3 Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang melibatkan pangkat. Berikut adalah beberapa persamaan eksponen :

$\\a^{f(x)}=a^{g(x) }\rightarrow f(x) = g(x)...1)\\a^{f(x)} = a^{f(x)}\rightarrow f(x)=0...2)$

Persamaan eksponen ini sangat berguna dalam mencari nilai suatu pangkat jika basisnya (a) sama.

B. Bentuk Akar
Istilah akar masih berhubungan dengan perpangkatan. Akar dapat didefinisikan sebagai berikut :

$\sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}}$

Kalau kita definisikan menggunakan bahasa sehari-hari, akar itu artinya mengembalikan hasil dari pangkat.

Sebagai contoh :

$2^2 = 4 \Leftrightarrow \sqrt{4} = 2$

Yang artinya, 2 pangkat 2 adalah 4 dan akar 4 adalah 2.

B.1 Sifat Akar

Berikut adalah beberapa sifat dari akar.

$\\ \sqrt a =a^{\frac{1}{2}}...1)\\\\ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}...2)\\\\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a}{b}}...3)\\\\ \sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{m}{n}}...4)$

Dengan menghafal sifat akar ini, akan menjadi lebih mudah bagi kamu untuk melakukan operasi matematika yang melibatkan akar.

B.2 Grafik Fungsi Akar Kuadrat

Untuk grafik fungsi akar kuadrat, bentuknya adalah seperti berikut :

Grafik ini kontinu, namun yang diambil hanya sampai x = 2. Untuk melihat detilnya, kamu dapat gunakan aplikasi desmos.com untuk menggambar grafik lengkapnya.

B.3 Akar Sekawan

Akar sekawan digunakan untuk membuat suatu bentuk pecahan yang tidak rasional menjadi rasional.

Jika ada bentuk sebagai berikut, rasionalkanlah dengan mengalikan pecahan tersebut dengan pasangan sekawannya.

$\\ \frac{a}{\sqrt b}= \frac{a}{\sqrt b} \cdot {\color{Red} \frac{\sqrt b}{\sqrt b}}...1)\\\\ \frac{a}{\sqrt b \pm \sqrt c} = \frac{a}{\sqrt b} \cdot {\color{Red} \frac{\sqrt b \mp\sqrt c}{\sqrt b \mp \sqrt c}}...2)$

Dengan begitu, bentuknya akan menjadi rasional.

Contoh Soal :

Tentukan bentuk sederhana dari :

$\frac{5}{3\sqrt 2 - \sqrt 3}= ...$

Jawab :

Untuk menjawab soal ini, lihat bagian (B.3) mengenai akar sekawan. Gunakan persamaan kedua untuk meraionalkan akar tersebut. Didapat :

$\\ = \frac{5}{3\sqrt 2 - \sqrt 3}\cdot {\color{Red} \frac{3\sqrt 2 + \sqrt 3}{3\sqrt 2 + \sqrt 3}} \\\\ = \frac{15\sqrt 2 +5\sqrt 3}{(18)-3}\\\\=\frac{15\sqrt 2 + 5 \sqrt 3}{{\color{Red} 15}} \\\\$

Lakukan pemfaktoran agar bisa dilakukan pembatalan.

$\\ =\frac{15\sqrt 2 + 5 \sqrt 3}{ 15} \\\\ =\frac{{\color{Red} 5}(3\sqrt 2+\sqrt 3)}{{\color{Red} 15}} \\= \frac{1}{3}(3\sqrt 2 + \sqrt 3)$

Sehingga bentuk terakhir tersebut sudah sederhana.

Untuk bagian logaritma dapat di cek di link berikut :

Matematika X (I) - [1.2] Logaritma

Terimakasih sudah mampir! Semoga sehat terus dan belajar terus!

IG : @worldofequations
@flxnothere

Matematika X (I) - [1.1] Pangkat dan Bentuk Akar

No comments:

Post a Comment