Matematika X (I) - [1.2] Logaritma

Logaritma

Halo, kembali bersama saya Felix sebagai pengisi konten di World of Equations ini. Kali ini akan membahas tentang yang namanya Logaritma. Sebelum kita masuk ke pembahasan yang lebih dalam kita harus tahu dulu

Apa itu Logaritma?

Singkatnya, logaritma adalah bentuk invers dari pangkat. Secara matematis, logaritma dinotasikan sebagai :

$a^b =c \Leftrightarrow \log_a{c}=b$

Dengan a adalah basis, b adalah bilangan yang di-logaritma dan c adalah hasil.

Aneh ya? kok beda bentuknya sama yang diajarin di sekolah? Entah saya juga tidak tahu, orang luar biasa menotasikan basis-nya di bawah sementara yang kita dapat di sekolah basisnya di atas seperti berikut :

$a^b =c \Leftrightarrow ^a\log{c}=b$

Namun keduanya sama saja.

Sifat Logaritma

Untuk mempelajari logaritma, kita harus tahu dulu beberapa sifat berikut.
$\\ ^a \log b = c \Leftrightarrow a^c= b...1)\\ \ ^a \log a = 1...2)\\ ^a \log b = \frac{1}{^b \log a} = \frac{^k \log b}{^k \log a}; \textup{k bilangan berapapun}...3)\\^a \log (bc)= ^a \log b+ ^a \log c...4)\\^a\log (\frac{b}{c})= ^a\log b - ^a\log c ...5)\\^a \log b \cdot ^b \log c = ^a \log c...6)\\ \log_{a^m}b^n = (\frac{n}{m}) ^a\log b..7) \\(a)^{ \log_a b}=b...8)$
Sifat di atas harus dihafal, mengingat soal-soal SBMPTN dan soal UN sering memunculkan logaritma.

Persamaan Logaritma

Sebenarnya persamaan logaritma ini jarang keluar di soal-soal, tapi dalam perhitungan logaritma, sering sekali kita akan mendapatkan persamaan logaritma. Maka dari itu berikut persamaan logaritma :

$\\ ^a \log f(x) = ^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x)...1) \\ ^a \log f(x) = ^a \log f(x) \rightarrow f(x) = 1 ...2)\\$

Kedua persamaan ini akan sering digunakan pada saat soal logaritma dikerjakan.

Pertidaksamaan Logaritma

Berikut adalah bentuk dari pertidaksamaan logaritma dan penyelesaiannya.

Untuk a > 1

$\\ ^a\log f(x) \geq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\geq g(x)...1)\\ ^a\log f(x) \leq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\leq g(x)...2) \\ ^a \log f(x) \geq b \rightarrow f(x) \geq a^b...3)$

Untuk < a < 1

$\\ ^a\log f(x) \geq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\leq g(x)...1)\\ ^a\log f(x) \leq ^a \log g(x) \rightarrow f(x)\geq g(x)...2) \\ ^a \log f(x) \geq b \rightarrow f(x) \leq a^b...3)$

Cara ngafalnya, kalau a > 1 inget aja kalo penyelesaiannya ngikutin tanda. Untuk 0 < a < 1, tanda-nya kebalikan.

Grafik Fungsi Logaritma

Untuk yang ini, bonus aja untuk kita mengetahui gimana sih bentuk fungsi logaritma jika digambarkan dalam grafik.! Kali ini kita dibantu oleh desmos.com lagi.

Yang mau lihat lengkapnya silahkan buat sendiri di desmos.com

Logaritma Natural (ln)

Untuk pengenalan saja, logaritma natural atau ln adalah logaritma yang berbasis e (bilangan euler) ≈ 2,71828. Untuk sifatnya ya sama saja dengan logaritma biasa. Notasinya adalah sebagai berikut :

$^e \log x = \ln x$

Kalian akan banyak ketemu ln di integral dan turunan nanti hehe..

Untuk bagian I udahan dulu yaa.. Materinya dah tamat..

Yang mau lanjutin, kalian bisa lanjut di link berikut :

Matematika (II) - Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Terimakasih sudah mampir! Semoga sehat terus dan belajar terus!

IG : @worldofequations
@flxnothere