Matematika (UN) - Soal dan Pembahasan Materi UNBK 2019 [MIRIP] [Nomor 1 - 10]

Pembahasan PM UN 2019

Halo, kali ini saya akan membahas soal PM UN 2019 yang menurut saya sangat mirip dengan UN 2019 kemarin..Karena saya sendiri yang mengerjakan soal un 2019 kemarin dan merasa bahwa soal yang akan kita kerjakan ini sangat mirip dengan un 2019 kemarin.

Soal 1 [Fungsi]

Pembahasan :

Untuk soal pertama ini, kita diminta untuk mencari daerah asal dari suatu fungsi atau domain. Untuk mengerjakan soal ini, kita perlu mengetahui arti dari daerah asal.

Daerah Asal : Himpunan semua bilangan real sehingga fungsi tedefinisi.

Yang artinya, kita harus membuat fungsi di atas terdefinisi.

Nah, syarat agar fungsi terdefinisi adalah sebagai berikut :

1. Penyebut tidak boleh bernilai nol.

2. Pecahan tidak boleh menghasilkan nilai 0/0.

3. Jika dalam suatu akar, akar tidak boleh minus.

Maka, kita akan mencari pembuat nol dari masing-masing penyebut dan pembilang sebagai berikut.

#1 Pembuat nol untuk pembilang.

$\\ 3x^2+4x-4 =0\\\(x+2)(3x-2)=0\\x=-2 \or\ x=\frac{2}{3}$

#2 Pembuat nol untuk penyebut.

$\\x^2 - 4 =0\\x^2=4\\x=\pm 2$

Setelah itu, jadikan semua pembuat nol di atas dalam satu garis bilangan.

Maka didapat bahwa x terdefinisi jika lebih kecil dari 2/3 atau lebih besar dari 2, dan x tidak mungkin = 2 karena akan membuat akar tidak terdefinisi. Maka HPnya adalah sebagai berikut:

$HP=x\leq \frac{2}{3} \vee x>2 ;x\neq-2$

Yang mana jawabannya adalah C

Soal 2 [Fungsi]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita harus paham arti dari fungsi invers. Singkatnya , Fungsi Invers artinya adalah kebalikan dari fungsi. Dimana, yang tadinya y = f(x) menjadi x = f(y).

Maka, kita bisa ubah fungsi di atas menjadi bentuk berikut berdasarkan kaidah fungsi invers.

$\\y=3x^2+6x+17\\x=3y^2+6y+17$

Setelah itu, ubah bentuk di atas sehingga menjadi satu nilai y = ..

$\\x=3y^2+6y+17\\x-17=3y^2+6y\\3y^2+6y=x-17 \rightarrow :3\\\\y^2+6y=\frac{x-17}{3}$

Lengkapi persamaan kuadrat di atas menjadi kuadrat sempurna.

$\\ (y+1)^2=\frac{x-17}{3}+1\\y+1=\sqrt{\frac{x-17}{3}+1}\\\\y=\sqrt{\frac{x-17}{3}+\frac{3}{3}}-1\\\\y=\sqrt{\frac{x-14}{3}}-1$

Fungsi di atas sudah merupakan invers dari f(x). Akan tetapi, kita akan membuat bentuk di atas menjadi sama dengan pilihan gandanya. Kita bisa pecah akar pembilang dan penyebut untuk di rasionalkan. Menjadi :

$\\y=\frac{\sqrt{x-14}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-1\\\\y=\frac{\sqrt{(3x-42)}}{3}-1\\\\y=\frac{1}{3}\sqrt{3x-42}-1$

Sehingga jawaban yang tepat adalah D

Soal 3 [Fungsi Kuadrat]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita harus mengetahui konsep tentang fungsi kuadrat. Ketika grafik fungsi memotong di sumbu x negatif, artinya parabolanya tertutup. Maka dari itu jika parabola tertutup, berdasarkan konsep fungsi kuadrat, maka a < 0.

Ingat lagi rumus titik puncak untuk sumbu x, yaitu :

$x_p=-\frac{b}{2a}$

Jika a < 0, dan xp adalah positif, maka b pasti lebih besar dari nol. Maka dapat disimpulkan bahwa b > 0.

Untuk c, karena dia memotong di sumbu y positif, maka disimpulkan bahwa c > 0

Maka jawaban yang tepat adalah : A

Soal 4 [Fungsi Komposisi]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita harus paham apa yang dimaksud dengan soal. Di soal tersebut diketahui bahwa seorang pekerjaan menghasilkan pekerkaan sebanyak 7 unit.

Artinya, 7 unit itu adalah bobot hasil kerja dari pegawai. Sehingga nilai x = 7.

Maka, untuk mengetahui nilai konduitenya, kita harus mengetahui dulu kehadiran pegawai dengan memasukan nilai x kedalam fungsi A(x). Didapat :

$\\A(x)=\frac{20x+100}{3}\\\\A(7)=\frac{20 \cdot 7 +100}{3}=80$

Setelah didapat nilai kehadiran, kita bisa masukan ke fungsi nilai konduitenya berdasarkan input kehadiran tadi. Didapt :

$\\ R(A)=\frac{3}{4}A+25\\\\R(80)=\frac{3}{4}\cdot80+25=85$

Maka, jawaban yang tepat adalah : C

Soal 5 [Fungsi Komposisi]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita perlu tahu definisi dari f circle g yaitu :

$(f \circ g)(x)=f[g(x)]$

Yang artinya, fungsi f di-input oleh fungsi g. Maka, untuk mencari invers f(x), kita dapat menggunakan persamaan di atas.

$\\(f \circ g)(x)=f(g(x))\\x^2-1=f(2x-1)$

Ingat, sifat invers bahwa :

${\color{Red} f(x)=y\rightarrow f^{-1}(y)=x}$

Maka, kita bisa ubah persamaan di atas menjadi :

$\\ x^2-1 = f(2x-1) \\ f^{-1}(x^2-1)=2x-1$

Lalu, cari nilai f(x) dengan mensubsitusikan x^2-1 menjadi sebuah variabel.

$\\f^{-1}(x^2-1)=2x-1 \\ {\color{Blue} \textup{misal}:x^2-1=t \Leftrightarrow x=\sqrt{1+t}}\\f^{-1}(t)=2(\sqrt{1+t})-1\\f^{-1}(x)=2\sqrt{x+1}-1$

Sehingga, jawaban yang tepat adalah : A

Soal 6 [Persamaan Kuadrat]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita perlu tahu syarat ketika akar real. Syarat dari akar-akar agar real adalah D > 0 dimana D adalah diskriminan dengan rumus :

$\\ f(x)=ax^2+bx+c \\D = b^2-4ac$

Maka, subsitusikan nilai a, b, dan c ke dalam rumus D.

$\\ D\geq0 \\b^2-4ac \geq 0 \\ (-19)^2-4(2a)(5a)\geq0\\(-19^2)-40a^2\geq0\\-19-40a\geq0\\-2\sqrt{10}a\geq\pm19\\a\leq\pm \frac{19}{2\sqrt{10}}$

Sehingga didapat bahwa nilai a :

$-\frac{19}{2\sqrt{10}}\leq a \leq \frac{19}{2\sqrt{10}}$

Sehingga jawaban yang tepat adalah D

Soal 7 [Fungsi Kuadrat]

Pembahasan :

Berdasarkan soal, kita diminta mencari kurva fungsi kuadrat yang mungkin untuk fungsi f(x). Diketahui soal a > 0, b > 0, dan c > 0. Untuk menjawab soal ini, kita perlu tahu beberapa konsep berikut :

1. Konsep a

Jika nilai a > 0, maka parabola akan terbuka ke atas.

Jika nilai a < 0, maka parabola akan terbuka ke bawah.

Maka, untuk soal di atas, parabolanya terbuka ke atas.

2. Konsep b

Ketika a > 0 dan b > 0, maka koordinat titik puncak di sumbu x untuk fungsi tersebut pasti lebih kecil dari nol atau minus. Mengingat rumus dari titik puncak fungsi kuadrat x yaitu :

$x_p = -\frac{b}{2a}$

Maka, koordinat titik puncak fungsi tersebut berada di x negatif.

Dari kedua konsep di atas, kita sudah bisa menebak bahwa jawaban yang tepat adalah A

Soal 8 [Fungsi Kuadrat]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal di atas, kita harus tahu rumus dari koordinat titik puncak adalah sebagai berikut :

$(x_p,y_p)=(\frac{-b}{2a},f(\frac{-b}{2a}))$

Untuk itu, koordinat titik puncaknya adalah :

$\\ x_p = \frac{-b}{2a}\\\\ x_p =\frac{-(-12)}{2(2)}=-3\\\\y_p=2(-3)^2-12(-3)+13=-5\\\therefore (x_p,y_p)=(-3,-5)$

Untuk titik potong dengan sumbu x, ketika suatu kurva memotong sumbu x, maka y = 0. Untuk itu, kita gunakan rumus abc untuk mencari nilai x1 dan x2nya,

$\\y=2x^2-12x+13\\ 0 =2x^2-12x+13 \\\\ (x_1,x_2)=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\(x_1,x_2)=\frac{-12\pm\sqrt{12^2-4(13)(2)}}{2(2)}\\\\(x_1,x_2)=\frac{-12\pm\sqrt{40}}{4}\\\\(x_1,x_2)=3\pm\frac{2\sqrt{10}}{4}\\\\(x_1,x_2)=3\pm \frac{1}{2}\sqrt{10}$

Sehingga jawaban yang tepat adalah A

Soal 9 [Fungsi Invers]

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini, kita harus mencari dahulu f circle g, lalu kita invers. Maka :

$\\ (f\circ g)(x)=f(g(x))\\\\ (f\circ g)(x)=6(\frac{4x+3}{2x+1})-1\\\\(f\circ g)(x)=\frac{24x+18}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\\\\(f \circ g)(x)=\frac{22x+17}{2x+1}$